20242025学年上海市曹杨第二中学高三上学期期中考试数学试卷一、填空题() 1. 已知集合 ， ， 则 _ . () 2. 函数 在区间 上的平均变化率为 _ . () 3. 不等式 的解集为 _ . () 4. 若圆柱的底面半径为1， 且表面积是侧面积的2倍， 则该圆柱的体积为 _ . () 5. 若 ， 则 _ . () 6. 在 的二项展开式中， 系数最小的项为 _ . () 7. 经过坐标原点且倾斜角为 的直线被圆 所截得的弦长为 _ . () 8. 设 .若 是函数 的极大值点， 则 _ . () 9. 在 中， 是 边的中点.若 ， ， ， 则 _ . () 10. 设 ， 令 ， 若存在实数 ， 则 的取值范围是 _ . () 11. 设 为正整数.若存在复数 ， 满足 且 ， 则 的最小值为 _ . () 12. 设 是定义在 上的偶函数， 且对任意整数 、 ， 都有 ， 其中 表示实数 、 中的较大者.若 ， ， 则 的所有可能取值组成的集合为 _ . 二、单选题() 13. 已知 ， 则（ ） A B C D () 14. 已知 是直二面角， 直线 在平面 上， 直线 在平面 上.若 、 均与 既不平行， 也不垂直， 则 与 的位置关系是（ ） A 可能垂直， 也可能平行B 可能垂直， 但不可能平行C 不可能垂直， 但可能平行D 既不可能垂直， 也不可能平行 () 15. 已知 是无穷等比数列， 则“对任意正整数 ， 都有 ”是“数列 是严格减数列”的（ ） A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 既非充分又非必要条件 () 16. 设 ， .若对任意实数 ， 都有 ， 则满足条件的有序数对 的个数是（ ） A 无数个B 3个C 2个D 1个 三、解答题() 17. 设向量 ， ， . (1)求函数 的最小正周期及单调增区间； (2)在 中， 角 、 、 的对边分别为 、 、 .若 ， ， 且 ， 求 的面积. () 18. 如图， 在四棱锥 中， 底面 是边长为2的菱形， 且 ， ， 且 . (1)求证： 平面 平面 ； (2)设 为 的中点， 求平面 与平面 所成锐二面角的大小. () 19. 2024届起， 上海实行高考改革新方案.新方案规定： 语文、数学、英语是考生的必考科目， 考生还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门科目中选取3门作为选考科目.某校为了解高一年级540名学生选科方案的意向， 按性别分层抽样， 随机选取36名学生进行了一次调查， 统计选考科目人数如下表： 性别人数物理化学生物政治历史地理男生2020208237女生1666164106(1)估计该学校高一年级全体男生中， 选科方案为“物理、化学、历史”组合的人数； (2)从选取的20名男生中随机选出2名， 求恰好有1人选“物理、化学、生物”组合的概率；（结果用最简分数表示） (3)已知选取的16名女生有且仅有“物理、化学、生物”、“生物、政治、历史”、“生物、历史、地理”3种选科方案.若从选取的16名女生中随机选出2名， 求2人选科方案不同的概率.（结果用最简分数表示） () 20. 已知椭圆 的离心率 ， 上顶点为 . (1)求 的方程； (2)设 是直线 上一点， 点 满足 .若 经过点 ， 求点 的坐标； (3)过 的右焦点 作不垂直于 轴的直线 ， 交 于 、 两点， 线段 的垂直平分线交 轴于点 ， 求 的值. () 21. 设函数 的定义域为开区间 .若存在 ， 使得曲线 在 处的切线 与曲线 只有唯一的公共点， 则称切线 是函数 的一条“ 切线”. (1)求证： 直线 是函数 的一条“ 切线”； (2)设 ， 求证： 函数 存在无数条“ 切线”； (3)设 ， .若曲线 在 处的切线 是函数 一条“ 切线”， 求 的取值范围.