20242025学年上海市延安中学高三上学期期中考试数学试卷一、填空题() 1. 设集合 ， ， 则 _ () 2. 已知复数 为虚数单位）， 表示 的共轭复数， 则 _ . () 3. 已知向量 满足： ， 与 的夹角为 ， 则 _ . () 4. 函数 在区间 内有最大值， 但无最小值， 则 的取值范围是 _ . () 5. 袋中有形状和大小相同的两个红球和三个白球， 甲、乙两人依次不放回地从袋中摸出一球， 后摸球的人不知前面摸球的结果， 则乙摸出红球的概率是 _ () 6. 展开式中 的系数为 _ .（答案用数字作答） () 7. 已知 ， 若 ， 则 _ . () 8. 在 中， 内角 的对边分别为 ， 若 ， ， 则边 的长度为 _ () 9. 某同学6次测评成绩的数据如茎叶图所示， 且总体的中位数为88， 若从中任取两次成绩， 则这两次成绩均不低于93分的概率为 _ . () 10. 已知过抛物线 的焦点 的直线与 交于 ， 两点， 线段 的中点为 ， 且 若点 在抛物线 上， 动点 在直线 上， 则 的最小值为 _ () 11. 已知函数 ， 若存在唯一的负整数 ， 使得 ， 则实数 的取值范围是 _ () 12. 已知函数 ， 若实数 满足 ， 则 的最大值为 _ . 二、单选题() 13. 已知 ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线， 下列说法正确的是（ ） A 若， ， ， 则B 若， ， 则C 若， ， 则D 若， ， 则 () 14. 已知 ， ， 求 的最大值（ ） A B C 5D 2 () 15. 设函数 和 的定义域为 ， 若存在非零实数 ， 使得 ， 则称函数 和 再 上具有性质 现有四组函数： ， ； ， ； ， ； ， 其中具有性质 的组数为（ ） A 1B 2C 3D 4 () 16. 一般地， 对于数列 ， 如果存在一个正整数 ， 使得当 取每一个正整数时， 都有 ， 那么数列 就叫做周期数列， 叫做这个数列的一个周期 给出下列四个判断： 对于数列 ， 若 ， 则 为周期数列；若 满足： ， ， 则 为周期数列；若 为周期数列， 则存在正整数 ， 使得 恒成立；已知数列 的各项均为非零整数， 为其前 项和， 若存在正整数 ， 使得 恒成立， 则 为周期数列 其中所有正确判断的序号是（ ） A B C D 三、解答题() 17. 在四棱锥 中， 底面 是边长为2的正方形， ， (1)求证： ； (2)当 时， 求直线 与平面 所成角的正弦值 () 18. 学校为了解学生对“公序良俗”的认知情况， 设计了一份调查表， 题目分为必答题和选答题 其中必答题是、共三道题， 选答题为、共七道题， 被调查者在选答题中自主选择其中 道题目回答即可 现从、四个题目中至少选答一道的学生中随机抽取 名学生进行调查， 他们选答、的题目数及人数统计如表： 选答、的题目数1道2道3道4道人数(1)现规定： 同时选答、的学生为“公序良俗”达人 学校还调查了这 位学生的性别情况， 研究男女生中“公序良俗”达人的大概比例， 得到的数据如下表： 性别“公序良俗”达人非“公序良俗”达人总计男性女性总计 请完成上述 列联表， 并根据小概率值 的独立性检验， 分析“公序良俗”达人与性别是否有关 (2)从这 名学生中任选 名， 记 表示这 名学生选答、的题目数之差的绝对值， 求随机变量 的分布和数学期望 参考公式： ， 其中 附表见上图 () 19. 已知数列 和 满足 ， （ 为常数且 ） (1)证明： 数列 是等比数列； (2)已知 为数列 的前 项和， 且 ， 记 ， 为数列 的前 项和， 求使得 取到最大值时 的值 () 20. 已知椭圆 的离心率为 ， 且过点 直线 交 于 ， 两点 点 关于原点的对称点为 ， 直线 的斜率为 ， (1)求 的方程； (2)证明： 为定值； (3)若 上存在点 使得 ， 在 上的投影向量相等， 且 的重心在 轴上， 求直线 AB的方程 () 21. 已知函数 （1）求曲线 在 处的切线方程； （2）函数 在区间 上有零点， 求 的值； （3）记函数 ， 设 是函数 的两个极值点， 若 ， 且 恒成立， 求实数 的最大值