2024年秋季湖北省部分高中联考协作体高一期中考试数学试卷试卷满分：150分注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校考号班级姓名等填写在答题卡上.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷草稿纸上无效.3.填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷草稿纸上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.一单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由补集运算可直接求解.【详解】，故选：B.2. 已知命题，命题，则（ ）A. 和均为真命题B. 和均为真命题C. 和均为真命题D. 和均为真命题【答案】D【解析】【分析】判断全称量词命题及存在量词命题及其否定的真假即可得答案.【详解】对于命题，当时，为假命题，则为真命题，AC错误；对于命题，当时，为真命题，则为假命题，BC错误.所以和均为真命题，D正确.故选：D3. 已知函数则（ ）A. B. 0C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】代入求解得到，结合，求出答案.【详解】由，则，又，所以.故选：C4. 已知为非零实数，则“”是“关于不等式与不等式解集相同”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据不等式解集与方程根的关系可得当两不等式解集不相同，即可得出结论.【详解】由知，若与不等式解集不相同；若与不等式解集相同，则.则“”是“关于的不等式与不等式解集相同”的必要不充分条件故选：B5. 对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】则原问题转化为方程：在上有解问题，结合对称轴和根的判别式得到不等式，求出答案.【详解】设为奇函数，且当时，则时，则原问题转化为方程：在上有解，求的取值范围问题.由在有解得：.故选：A6. 函数若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据单调性的定义判断单调性，由分段函数单调增的条件，列出不等式组，求得结果【详解】因为对任意，都有成立，可得在上是单调递增的，则.故选：C7. 已知正实数满足，则恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. 或C. D. 或【答案】A【解析】【分析】根据基本不等式求的最小值，再将恒成立问题转化为最值问题，可得不等式，求解即可.【详解】因为，且为正实数，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以，则因为恒成立，所以，解得，故选：A.8. 设是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：（1）属于属于；（2）中任意多个元素的并集属于；（3）中任意多个元素的交集属于；则称是集合上的一个拓扑.已知集合，对于下面给出的四个集合：；其中是集合上的拓扑的集合的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用定义结合集合间的基本关系与运算计算即可.【详解】故不是集合X上的拓扑的集合；，故不是集合X上的拓扑的集合；对于选项满足：（1）X属于，属于；（2）中任意多个元素的并集属于；（3）中任意多个元素的交集属于，综上得，是集合X上的拓扑的集合的序号是故选：C【点睛】思路点睛：新定义问题关键在于理解题意，将问题转化为集合间的基本关系即可.二多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或未选的得0分.9. 下列条件中，为“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件的有（ ）A. B. C. D. 【答案】CD【解析】【分析】由恒成立问题解出的取值范围，再利用集合间的包含关系即可判断.【详解】由对恒成立可得，当时，成立；当时，解得；故对恒成立时，的取值范围是，则是的真子集，且是的真子集；故选：CD10. 当两个集合中一个集合为另一个集合子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合，若与构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（ ）A. B. C. 0D. 1【答案】ACD【解析】【分析】通过，确定集合，再通过选项逐个判断即可.【详解】当时，当时，对选项A：若，此时，满足；对选项B：若，此时，不满足；对选项C：若，此时，满足；对选项D：若，此时，满足；故选：ACD.11. 已知函数在上的最大值比最小值大1，则正数的值可以是（ ）A. 2B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】根据对勾函数的单调性，对进行分类讨论，从而得到的可能取值.【详解】函数在上单调递减，在上单调递增，当时，函数在2,4上单调递增，所以，所以，解得或（舍去）；当时，函数在2,4上单调递减，所以，所以，解得（舍去）；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，且，若，即，则，解得（舍去）或（舍去）；若，即，则，解得或（舍去）.综上所述，或.故选：AD三填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12. 若，则实数的值所组成的集合为_.【答案】【解析】【详解】因为，所以，所以或，当时，解得，合题意，当时，解得或，若，合题意，若，不满足集合中元素的互异性，舍去，综上所述，.故答案为：.13. 已知是定义在上的奇函数，若，则_.【答案】4【解析】【分析】通过函数奇偶性得到，再令即可求解.【详解】为奇函数，即令有故答案为：414. 以表示数集中最大的数，表示数集中最小的数，则_.【答案】【解析】【分析】根据函数，的图象可求出的解析式，进而求出最大值.【详解】在同一坐标系下画出函数，的图象，联立，解得或，所以；联立，解得或，所以；由图可知，所以当时，有最大值，则，故答案为：四解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.15. 设集合.（1）若，求的取值；（2）记，若集合的非空真子集有6个，求实数的取值范围.【答案】（1）或或 （2）【解析】【分析】（1）通过和两类情况讨论即可；（2）确定中元素个数，由（1）即可确定.【小问1详解】若，则此时若则，当时；当且时，即，解得或，由若可知有或或【小问2详解】若集合的非空真子集有6个，则，可得，即中的元素只有3个，又由（1）知，且且即且且故实数的取值所构成的集合为16. 已知定义在上的函数对任意实数都有，且当时，.（1）求的值；（2）求函数的解析式；（3）求不等式的解集.【答案】（1）， （2） （3）【解析】【分析】（1）由函数解析式求，再由求；（2）设，可得，再利用可得的解析式；（3）可根据的符号分类讨论，列不等式求解即可.【小问1详解】因为时，所以，【小问2详解】当时，此时，又对任意实数x都有，故时，所以函数；【小问3详解】由得，或，当时，即或，解得或；当时，即，解得；综上所述，不等式的解集为.17. 如图，在公路的两侧规划两个全等的公园.（）其中为健身步道，为绿化带.段造价为每米3万元，段造价为每米4万元，绿化带造价为每平方米2万元，设的长为的长为米. （1）若健身步道与绿化带的费用一样，则如何使公园面积最少？（2）若公园建设总费用为74万元，则健身步道至少多长？【答案】（1）的长为的长6 （2）14米【解析】【分析】（1）根据题意得，利用基本不等式即可解决；（2）由题意得，化简得，结合基本不等式即可解决.【小问1详解】依题意得：，即，因为，所以，解得，当且仅当，即时，等号成立，此时面积，故的长为的长6时公园面积最少.【小问2详解】依题意得：，所以，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立.此时，故健身步道至少长（米）.18. 已知函数是奇函数，且.（1）求实数的值；（2）判断在上的单调性，并用定义证明；（3）当时，解关于的不等式.【答案】（1），. （2）在上单调递增；证明见解析 （3）【解析】【分析】（1）根据奇函数性质得到，求出，代入得到；（2）定义法求解函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论；（3）在（2）基础上，由的奇偶性得到在上单调递增，又时，从而得到不等式，求出解集.【小问1详解】因为函数是奇函数，所以，即，所以，解得，所以，因为，所以，解得.【小问2详解】在上单调递增，理由如下：由（1）可知任取，且，则，因为，且，所以，所以，即，所以在上单调递增；【小问3详解】当时，因为在上单调递增且为奇函数，所以在上单调递增，因为，所以，即，解得，或，综合得或所以不等式的解集为19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：在上是单调函数；当时，则称是该函数的“优美区间”.（1）求证：是函数的一个“优美区间”；（2）求证：函数不存在“优美区间”；（3）已知函数有“优美区间”，当取得最大值时，求的值.【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）【解析】【分析】（1）在区间0,4上单调递增，又，满足“优美区间”的定义；（2）根据的定义域，可设或，由单调性得到，两式相减，化简得到，代入方程组，得到，原方程无解，故函数不存在“优美区间”；（3）根据函数定义域得到或，分离常数得到x在上单调递增，故，是方程，即的两个同号且不等的实数根，根据，求出或，由韦达定理得到两根之和，两根之积，求出，当时，取得最大值.小问1详解】在区间0,4上单调递增，又，当时，根据“优美区间”的定义，0,4是的一个“优美区间”；【小问2详解】，设，可设或，则函数在上单调递减.若是的“优美区间”，则两式相减可得：，又，所以，即，代入方程组，得到，原方程无解.函数不存在“优美区间”.【小问3详解】，设.有“优美区间”，或，在上单调递增.若是函数x的“优美区间”，则，是方程，即（*）的两个同号且不等的实数根.，或，由（*）式得.，或，当时，取得最大值.【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧：