山西省2023-2024学年高二上学期1月期末质量检测数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1集合，则（）ABCD2已知复数满足，则复数的模为（）A2BCD3下列说法中，正确的是（）A数列可表示为集合B数列与数列是相同的数列C数列的第项为D数列可记为4若函数，则（）A0BCD5若，且，则（）ABCD6已知半径为1的圆经过点，其圆心到直线的距离的最大值为（）ABC2D37已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为（）A1BCD28已知函数，若，则下列式子大小关系正确的是（）ABCD二、多选题9下列通项公式中，对应的数列是递增数列的是（）ABCD102023年7月31日国家统计局发布了制造业采购经理指数（PMI）如下图所示：则下列说法正确的是（）A从2022年7月到2023年7月，这13个月的制造业采购经理指数（PMI）的极差为B2023年7月份，制造业采购经理指数（PMI）为，比上月上升0.3个百分点C从2023年1月到2023年7月，这7个月的制造业采购经理指数（PMI）的第71百分位数为D从2022年7月到2022年12月，这6个月的制造业采购经理指数（PMI）的平均数约为11已知正四棱锥的底边长为2，高为2，且各个顶点都在球的球面上，则下列说法正确的是（）A直线与平面所成角的余弦值为B平面截球所得的截面面积为C球的体积为D球心到平面的距离为12已知为双曲线的左、右焦点，为平面上一点，若，则（）A当为双曲线上一点时，的面积为4B当点坐标为时，C当在双曲线上，且点的横坐标为时，的离心率为D当点在第一象限且在双曲线上时，若的周长为，则直线的斜率为三、填空题13设单位向量的夹角的余弦值为，则 .14已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为 .15某市举办花展，园方挑选红色、黄色、白色鲜花各1盆，分别赠送给甲、乙、芮三人，每人1盆，则甲没有拿到白色鲜花的概率是 .16若存在实数使得，则的值为 .四、解答题17已知函数，且为极值点.(1)求实数的值；(2)判断是极大值点还是极小值点，并分别求出极大值与极小值.18已知的内角的对边分别为，且(1)求角；(2)设是边上一点，为角平分线且，求的值19已知数列，且.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.20如图，在直四棱柱中，与相交于点，为线段上一点，且.(1)求证：平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值.21已知函数.(1)证明：；(2)设，求证：对任意的，都有成立.22已知椭圆的长轴长为，点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)设是经过椭圆下顶点的两条直线，与椭圆相交于另一点与圆相交于另一点，若的斜率不等于0，的斜率等于斜率的3倍，证明：直线经过定点.试卷第3页，共4页参考答案：1D2B3C4A5B6D7C8A9AD10BCD11ACD12ABD13/14【解析】抛物线的焦点为，准线方程为，过点作垂直准线交于点，则，所以，当且仅当、三点共线时取等号，即平行于轴时取最小值，此时，则，即，所以.故答案为：15【解析】设事件为甲拿到白色鲜花，根据题意有红色、黄色、白色鲜花各1盆，分别赠送给甲、乙、丙三人，每人1盆，甲、乙、丙三人拿到白色鲜花的概率相等，都为，所以，则甲没有拿到白色鲜花的概率故答案为：16【解析】因为，所以，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增；所以，可得，所以，即，当且仅当，即时等号成立，又，所以，故，此时的值为.故答案为：.17(1)(2)答案见解析【解析】（1），因为为函数的极值点，所以，解得，经检验符合题意，所以；（2）由（1）得，当或时，当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以为极大值点，极大值为，为极小值点，极小值为.18(1)(2)【解析】（1）解：由正弦定理得，即，利用余弦定理可知，因为，所以；（2）在中，所以，即，因为为角平分线，所以，所以，由余弦定理，得，则，因此19(1)v(2)【解析】（1）因为，当时，两式相减，得，则，当时，则，满足上式，所以.（2）由（1）得，所以，则，两式相减，得，所以.20(1)证明见解析(2)【解析】（1）因为，所以，所以，又为线段上一点，且，所以，在中，又平面，平面，所以平面.（2）在直四棱柱中，平面，又，如图建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为， 则，令，可得，所以平面的一个法向量，设平面的一个法向量为， 则，令，可得，所以平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角的大小为，所以，即平面与平面的夹角的余弦值为21(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析【解析】（1）设，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，于是有，即.（2）要证明成立，即证明成立，即证明成立，也就是证明成立，因为，所以原问题就是证明成立，由，设，即证明，也就是证明成立，设，所以当时，函数单调递增，即有，从而成立.22(1)(2)证明见解析【解析】（1）依题意可得，解得，所以椭圆的方程为.（2）设、的斜率分别为、，由（1）可知下顶点为，可得，将代入，整理得，解得或，则，可得将代入可得，解得或，则，所以直线的斜率为，因此直线方程为，化简得，于是直线经过定点答案第7页，共7页