甘肃省酒泉市四校联考2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（）ABCD2设点，点C关于面对称的点为D，则线段的中点P到点D的距离为（）A2BCD3在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，则用基底表示向量为（）ABCD4已知函数（a是常数）在上有最大值3，那么它在上的最小值为（）ABCD5设，若函数在区间有极值点，则取值范围为（）ABCD6如图，在空间直角坐标系中，正方形与矩形所在平面互相垂直(与原点重合)，在上，且平面，则点的坐标为（）ABCD7已知棱长为2的正方体中，分别是的中点，则直线与平面之间的距离为（）A1BCD8已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）ABCD二、多选题9已知，分别为直线的，方向向量（，不重合），分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（）ABCD10如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱和的中点，则以为原点，所在直线为、轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（）A平面BC是平面的一个法向量D点到平面的距离为11已知函数，下列说法正确的有（）A曲线在处的切线方程为B的单调递减区间为C的极大值为D方程有两个不同的解三、填空题12已知空间中三点，设，若，且，则向量 13如图，在直三棱柱中，、分别为棱、的中点，则 .14某商户销售、两种小商品，当投资额为千元时，在销售、商品中所获收益分别为千元与千元，其中，如果该商户准备共投入5千元销售、两种小商品，为使总收益最大，则商品需投入 千元四、解答题15如图，三棱柱中，M，N分别是上的点，且设，(1)试用，表示向量；(2)若，求MN的长16如图，在四棱锥中，底面ABCD，E为PC上一点，且(1)求证：平面PBC；(2)求证：平面BDE17如图，在直三棱柱中，为的中点(1)求点到平面的距离.(2)求平面与平面所成角的余弦值18已知函数在点处的切线方程为(1)求函数的单调区间，(2)若函数有三个零点，求实数m的取值范围19已知函数，（，为自然对数的底数）.(1)求函数的极值；(2)若对，恒成立，求的取值范围.试卷第5页，共5页参考答案：1B 2C 3B 4D 5B 6C 7B 8A9BD 10ACD 11AB12或1314115(1)(2)【详解】（1）解：， ；（2）解：， 即MN的长为.16(1)证明见解析；(2)证明见解析.【详解】（1）证明：如图，以A为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，所以，因为，所以，所以，所以，所以，即，又因为，平面PBC所以平面PBC（2）证明：由（1）可得，设平面BDE的法向量为，则，即令，得，则是平面BDE的一个法向量，因为，所以，因为平面BDE，所以平面BDE17(1).(2)【详解】（1）在中，由余弦定理得:，又平面，以为原点，为、轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，设平面的法向量为，不妨取，点到平面的距离（2）设平面的法向量为，.且取，则，则平面的法向量为设平面的法向量为，且，取，则则，平面与平面所成角的余弦值为18(1)单调递减区间是，单调递增区间是(2)【详解】（1）由题可得，由题意得，解得，所以，由得或，由得，所以的单调递减区间是，单调递增区间是；（2）因为，由（1）可知，在处取得极大值，在处取得极小值，的单调递减区间是，单调递增区间是，依题意，要使有三个零点，则，即，解得，经检验，根据零点存在定理，可以确定函数有三个零点，所以m的取值范围为19(1)极大值为，无极小值(2)【详解】（1）定义域为，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，的极大值为，无极小值.（2）由得：，在上恒成立；令，则；令，则，在上单调递增，又，使得，则，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，；由得：，则实数的取值范围为.答案第5页，共5页