河北省衡水中学2023-2024学年高二下学期第二次综合素养评价数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1若函数，则（）A0BCD2设曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（）ABCD3函数在上是（）A偶函数、增函数B奇函数、减函数C偶函数、减函数D奇函数、增函数4如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是（）A在处取得极大值B是函数的极值点C是函数的极小值点D函数在区间上单调递减5函数在区间的极大值、极小值分别为（）A，B，C，D，6已知直线与抛物线：（）交于，两点，为坐标原点，且，交于点，点的坐标为，则抛物线的焦点坐标为（）ABCD7若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（）A2BC3D8某种生命体M在生长一天后会分裂成2个生命体M和1个生命体N，1个生命体N生长一天后可以分裂成2个生命体N和1个生命体M，每个新生命体都可以持续生长并发生分裂.假设从某个生命体M的生长开始计算，记表示第n天生命体M的个数，表示第n天生命体N的个数，则，则下列结论中正确的是（）AB数列为递增数列CD若为等比数列，则二、多选题9设函数，若恒成立，则实数的可能取值是（）A5B4C3D210已知数列，记的前项和为，下列说法正确的是（）AB是一个等差数列CD11已知为双曲线的左、右焦点，为平面上一点，若，则（）A当为双曲线上一点时，的面积为4B当点坐标为时，C当在双曲线上，且点的横坐标为时，的离心率为D当点在第一象限且在双曲线上时，若的周长为，则直线的斜率为12设，且，则下列关系式可能成立的是（）ABCD三、填空题13若函数的导函数为，且满足，则 14已知等差数列中，则数列的前8项和等于 .15拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上“拉格朗日中值点”，根据这个定理，判断函数在区间上的“拉格朗日中值点”的个数为 .16已知函数，关于的不等式有且只有四个整数解，则实数的取值范围是 四、解答题17已知数列的前项和为.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.18已知函数在和处取得极值(1)求的值.(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围19已知函数，其中参数(1)求函数的单调区间；(2)设函数，存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围20已知椭圆的右焦点为，且过点.(1)求C的方程；(2)若过点的直线与交于两点，为坐标原点，求面积的最大值.21已知函数.(1)若函数有两个零点，求的取值范围；(2)设是函数的两个极值点，证明：.22已知函数(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)讨论在区间上的零点个数试卷第3页，共4页参考答案：1A2B3B4C5D6A7B8B9CD10BD11ABD12AC13/147215216由，可得，令，解得，令，解得，的递增区间为，递减区间为，故的最大值为 ，当趋于时，趋于；当趋于时，趋于，且，故当时，当时，函数的图象如图， 当时，由不等式，得或，当时，有无数多个整数解；当时，其解集为的子集，不含有整数解；所以不合题意；当时，由不等式，当得，得，则解集为，整数解有无数多个，不合题意；当时，由不等式，得或，当时，解集为，无整数解；当时，因为不等式有且仅有四个整数解，又，且，又因为在上单调递增，在上单调递减，所以四个整数解只能为、，所以，即所以实数的取值范围为.故答案为：.17(1)(2)【解析】（1）解：且，有，当时，有，两式相减得，当时，由，适合，所以.（2）由（1）知，所以.18(1)，.(2).【解析】（1）由，可得，由在和处取得极值，可得，解得，.代入检验，可得，令，解得，.所以时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增，所以是的极大值点，是的极小值点，符合题意.所以，.（2）由（1）可得，在单调递减，在单调递增.要使对任意，不等式恒成立，只需恒成立，即大于的最大值.令，显然在单调递减，在单调递增，所以.所以，解得或.所以c的取值范围为.19(1)答案见解析(2)【解析】（1），（1）当时，的减区间是（2）当时，的减区间是（3）当时，的增区间是，的减区间是综上，当时，减区间是；当时，增区间是，减区间是.（2），因为存在实数，使得不等式成立，,，单减，单增，20(1)(2)【解析】（1）椭圆的右焦点为，则椭圆的半焦距为，由于，则椭圆的方程变为：，将点的坐标代入，解得：或（舍去），得，所以椭圆的方程为.（2）依题意，直线l的斜率不为0，则设直线l的方程为，由消去x并整理得：，的面积，设，因为，当且仅当，时取得“=”，于是得，所以面积的最大值为1.21(1)(2)证明过程见解析.【解析】（1），该方程有两个不等实根，由，所以直线与函数的图象有两个不同交点，由，当时，单调递减，当时，单调递增，因此，当时，当，如下图所示：所以要想有两个不同交点，只需，即的取值范围为；（2）因为是函数的两个极值点，所以，由（1）可知：，不妨设，要证明，只需证明，显然，由（2）可知：当时，单调递增，所以只需证明，而，所以证明即可，即证明函数在时恒成立，由，显然当时，因此函数单调递减，所以当时，有，所以当时，恒成立，因此命题得以证明.【点睛】关键点睛：常变量分离构造新函数，利用新函数的单调性求解证明是解题的关键.22(1)(2)答案见解析【解析】（1）当时，其定义域为，所以，函数在处的切点坐标为，切线斜率为，因此，函数在处的切线方程为，即（2）令，则因为，则，则当时，则，故，从而在上单调递减；而，故当时，故在区间上无零点；当时，令，则，因为，则，从而，即在上单调递减；而，因此存在唯一的，使得，并且当时，；当时，即当时，当时，故当时，单调递增，当时，单调递减而，故；取，所以存在唯一的，使得，即在区间上有唯一零点综上所述，当时，在上有唯一的零点；当时，在上没有零点答案第7页，共8页