山西省太原市2023-2024学年高二上学期期中学业诊断数学试卷学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1直线的倾斜角为（）A30B60C120D1502椭圆的焦点坐标为（）ABCD3圆的圆心坐标为（）ABCD4已知，且，则实数（）AB5CD15直线与直线之间的距离是（）AB1CD26已知直线，圆，则直线l与圆C的位置关系是（）A相交B相切C相离D不确定7如图，正方体的棱长为2，是的中点，则点到直线的距离为（）ABCD8已知椭圆的左、右焦点分别为，点M在C上，点N的坐标为，则的取值范围为（）ABCD二、多选题9已知圆与圆关于直线l对称，则下列说法正确的是（）AB圆与圆相交C直线的方程为D直线l的方程为10已知点分别是椭圆的两个焦点，点在上，则下列说法正确的是（）A的最小值为B椭圆的离心率C面积的最大值为D的最大值为11已知直线，则下列说法正确的是（）A直线与相交于点B直线和轴围成的三角形的面积为C直线关于原点O对称的直线方程为D直线关于直线对称的直线方程为12已知点在圆上，点在上，则下列说法正确的是（）A的最小值为B的最大值为C过作圆的切线，切点分别为，则的最小值为D过P作直线，使得直线与直线的夹角为，设直线与直线的交点为，则的最大值为三、填空题13直线在轴上的截距为 14已知，则向量与的夹角为 15已知点是直线上的动点，点在线段上（是坐标原点），且满足，则动点的轨迹方程为 16已知椭圆的左，右顶点分别为，动点P在C上（异于点），点Q是弦的中点，则的最大值为 四、解答题17已知的三个顶点，分别是的中点(1)求直线的一般式方程；(2)求边的垂直平分线的斜截式方程18如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，是的中点，是的中点，记(1)用向量表示向量；(2)利用向量法证明：19已知圆的圆心在x轴上，且经过和两点(1)求圆的一般方程；(2)求圆与圆的公共弦的长20已知椭圆的离心率是，且经过点(1)求椭圆的方程；(2)若过点的直线l与椭圆C相交于两个不同的点，直线分别与轴相交于点，证明：线段的中点为定点21如图，在几何体中，ABC是边长为2的正三角形，D，E分别是，的中点，平面ABC，(1)若，求证：平面；(2)若平面与平面ABC夹角的余弦值为，求直线DE与平面所成角的正弦值试卷第5页，共5页参考答案：1C2A3D4A5C6A7D8B9BD10AD11AC12ACD131415（）16/17(1)(2)【分析】（1）求得的坐标，进而求得直线的方程并转化为一般式方程.（2）求得垂直平分线的斜率，进而求得其斜截式方程.【解析】（1）由于分别是的中点，所以，所以，直线的方程为，即.（2），所以边的垂直平分线的斜率为，所以边的垂直平分线的斜截式方程为.18(1)(2)证明详见解析【分析】（1）根据空间向量的线性运算求得正确答案.（2）通过证明来证得结论成立.【解析】（1）连接，则（2），所以，所以.19(1)(2)【分析】（1）通过求圆心和半径来求得圆的标准方程，再转化为一般方程.（2）先求得公共弦所在直线方程，再结合点到直线的距离公式以及勾股定理求得公共弦长.【解析】（1）设，由得，解得，则，所以圆的标准方程为，半径为，所以圆的一般方程为.（2）圆即，圆心为，半径为，两点的距离为，而，所以两圆相交，由、，两式相减并化简得，到直线的距离为，所以公共弦长为.20(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.（2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，根据直线求得两点的横坐标，进而计算出线段的中点为定点【解析】（1）依题意，解得，所以椭圆的方程为.（2）依题意，过点的直线与椭圆C相交于两个不同的点，画出图象如下图所示，由图可知直线的斜率存在，且，设直线的方程为，由消去并化简得，设，则，而，所以直线的方程为，令，解得，同理可求得，则，所以线段的中点为定点.21(1)证明见解析(2)【分析】（1）取AC的中点O，连接OD，易证OD平面ABC，然后以O为原点，OA，OB，OD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，论证，即可；（2）设，则，易知是平面ABC的一个法向量，再求得平面的一个法向量，由求得a，再利用线面角公式求解.【解析】（1）证明：取AC的中点O，连接OD，D是的中点，平面ABC，平面ABC，以O为原点，OA，OB，OD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，平面，故平面；（2）设，则，显然是平面ABC的一个法向量，设是平面的一个法向量，则，取，则，或，当时，直线DE与平面所成角的正弦值为；当时，直线DE与平面所成角的正弦值为答案第5页，共6页