河南省部分名校2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1抛物线的准线方程为（）ABCD2已知是公比为2的等比数列，若，则（）A100B80C50D403已知直线与垂直，则（）A0B0或CD0或4一个做直线运动的质点的位移与时间的关系式为，则该质点的瞬时速度为时，（）ABCD5记数列的前项和为，已知，且，则（）A6B5C3D16如图，在四棱锥中，底面为菱形，为棱的中点，且，则（）A6B8C9D107曲率是数学上衡量曲线弯曲程度的重要指标，对于曲线，其在点处的曲率，其中是的导函数，是的导函数.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则该抛物线上的各点处的曲率最大值为（）A2B1CD8椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆的左右焦点分别为，过点的直线与交于点，过点作的切线，点关于的对称点为，若，则（）注：表示面积.A2BC3D二、多选题9已知数列的前项和，则（）ABC是等差数列D是递增数列10已知曲线，则（）A当时，曲线是椭圆B当时，曲线是以直线为渐近线的双曲线C存在实数，使得过点D当时，直线总与曲线相交11已知圆和圆，则（）A圆与轴相切B两圆公共弦所在直线的方程为C有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线D两圆的公切线段长为12已知正方体的棱长为分别是棱和的中点，是棱上的一点，是正方形内一动点，且点到直线与直线的距离相等，则（）AB点到直线的距离为C存在点，使得平面D动点在一条抛物线上运动三、填空题13曲线在点处的切线方程为 .14在空间直角坐标系中，向量，分别为异面直线的方向向量，若所成角的余弦值为，则 .15已知是双曲线的左右焦点，为上一点，且（为坐标原点），则的离心率为 .16已知数列的通项公式为，其前项和为，不等式对任意的恒成立，则的最小值为 .四、解答题17已知公比不为1的等比数列满足，且是等差数列的前三项.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.18如图，在四棱锥中，为棱的中点，平面.(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.19已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，且.(1)求的值；(2)过点作两条互相垂直的直线，分别与圆交于不同于点的两点，若，求直线的方程.20已知数列的各项都是正数，前项和为，且.(1)证明：是等差数列；(2)求数列的前项和.21如图，在斜三棱柱中，且三棱锥的体积为.(1)求三棱柱的高；(2)若平面平面为锐角，求二面角的余弦值.22已知椭圆的上顶点为，右顶点为，且直线的斜率为.(1)求的方程；(2)若直线与交于两点（异于点），且满足，求面积的最大值.试卷第5页，共5页参考答案：1B2B3B4C5C6A7D8C9AC10ABC11ACD12AD131415/1617(1)(2)【解析】（1）设的公比为，因为成等差数列，则，即，解得或1（舍去），所以.（2）由（1）可知的前三项为，则等差数列的首项为，公差为，所以，即.所以.18(1)证明见解析(2)【解析】（1）因为平面，平面，所以，又，由题可知两两互相垂直，所以以所在直线为轴，过与平行的直线为轴，所在直线为轴建立如图的空间直角坐标系.又，为棱的中点，易知.所以，所以，所以.（2）因为平面，平面，所以.由（1）知，又，平面，所以平面，即是平面的一个法向量.又因为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.19(1)(2)或【解析】（1）由题意可知圆的圆心为，半径.因为，所以，从而，即，两边平方整理得，又因为，所以.（2）由（1）知圆，点在圆上，又因为，所以线段为圆的直径，即直线过圆心，显然直线的斜率不为0，设其方程为，点到直线的距离为.根据三角形的面积公式可得.所以，解得，所以直线的方程为或.20(1)证明见解析(2)【解析】（1）在中，令，得，当时，由，得，整理得，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.（2）由（1）知.所以，-，得，所以.21(1)(2)【解析】（1）解：设三棱柱的高为，因为，所以，又因为三棱锥的体积为，可得，解得，即三棱柱的高为.（2）解：过点作于点，连接，因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，由（1）知，又因为为锐角，所以，在中，所以.以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，可得，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，因为平面，可得平面的一个法向量为，所以，所以二面角的余弦值为.22(1)(2)【解析】（1）依题意可得，由，得，所以的方程为.（2）易知不与轴平行，设其方程为，由得，由，得.设，则，即，所以，将代入，整理得，即，解得或（舍去），所以直线的方程为，即直线过定点.令，则，当，即时，最大，且最大值为.答案第5页，共6页