湖北省武汉市部分重点中学2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1两条不同直线，的方向向量分别为，则这两条直线（）A相交或异面B相交C异面D平行2已知椭圆：的离心率为，则（）AB1C3D43一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（）ABCD4实数，满足，则的取值范围是（）ABCD5已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上中线所在的直线方程为，则高的长度为（）ABCD6在四面体中，已知为等边三角形，为等腰直角三角形，斜边，则二面角的大小为（）ABCD7已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线：交椭圆于，两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（）ABCD8已知中心在原点，焦点在轴上，且离心率为的椭圆与经过点的直线交于两点，若点在椭圆内，的面积被轴分成两部分，且与的面积之比为，则面积的最大值为（）ABCD二、多选题9已知椭圆：，分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上任意一点.下列说法中正确的是（）A椭圆离心率为B的最小值为1CD10下列说法正确的是（）A已知点，若过的直线与线段相交，则直线的倾斜角范围为B“”是“直线与直线互相平行”的充要条件C曲线：与：恰有四条公切线，则实数的取值范围为D圆上有且仅有2个点到直线：的距离都等于11如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，分别是线段，的中点，是线段上的一个动点（不含端点，），则下列说法正确的是（）A存在点，使得B不存在点，使得异面直线与所成的角为C三棱锥体积的取值范围为D当点运动到中点时，与平面所成角的余弦值为12椭圆有如下的光学性质，从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点，左、右焦点分别为、.一束光线从射出，经椭圆镜面反射至，若两段光线总长度为6，且椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为.则下列说法正确的是（）A椭圆的标准方程为B若点在椭圆上，则的最大值为C若点在椭圆上，的最大值为D过直线上一点分别作椭圆的切线，交椭圆于，两点，则直线恒过定点三、填空题13圆：与圆：的公共弦所在的直线方程为 .14所有棱长都为1的平行六面体中，若为与的交点，则的值为 .15已知椭圆：的左，右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于、两点，、分别交轴于、两点，的周长为4.过作外角平分线的垂线与直线交于点，则 .16已知直线与圆：交于，两点，且，则的最大值为 .四、解答题17在平面直角坐标系中，已知射线：，：.过点作直线分别交射线，于点A，.(1)已知点，求点A的坐标；(2)当线段的中点为时，求直线的方程.18如图，和是不在同一平面上的两个矩形，记，.请用基底，表示下列向量：(1)；(2)；19已知圆，圆：，圆：，这三个圆有一条公共弦.(1)当圆的面积最小时，求圆的标准方程；(2)在（1）的条件下，直线同时满足以下三个条件：（i）与直线垂直；（ii）与圆相切；（iii）在轴上的截距大于0，若直线与圆交于，两点，求.20如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，为的中点，.为上的一点，已知.(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.21已知，是椭圆上的三点，其中、两点关于原点对称，直线和的斜率满足.(1)求椭圆的标准方程；(2)点是椭圆长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点作斜率不为0的直线，与椭圆的两个交点分别为、，若为定值，则称点为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，试求出所有的“稳定点”，并说明理由；若没有，也请说明理由.22已知椭圆：的焦距为，且点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)若是椭圆上的三点，且直线与轴不垂直，点为坐标原点，则当的面积最大时，求的值.试卷第7页，共7页参考答案：1A2C3D4C5C6A7B8D9BD10AC11BC12ACD131415163017(1)(2)【分析】（1）根据已知先求出直线的方程，与的方程联立，即可得出答案；（2）设，根据中点坐标公式以及已知求出的值，即可得出的坐标，求出斜率，即可得出答案.【解析】（1）由已知可得，所以直线的方程为，即为.与联立解得，即.（2）由题意设，则线段的中点为.因为线段的中点为，所以，解得：.所以，则直线的斜率.所以直线的方程为，即.故直线的方程为.18(1)(2)【分析】利用空间向量的运算求解即可.【解析】（1）.（2）.19(1)(2)【分析】（1）联立圆与圆的方程，求得公共弦的两个端点坐标分别为，当圆的面积最小时，是圆的直径，求解即可；（2）由题意设直线的方程为，结合条件直线与圆相切，在轴上的截距大于0，求得，然后利用弦长公式求解.【解析】（1）依题意，由，解得或，因此圆与圆的公共弦的两个端点坐标分别为，当圆的面积最小时，是圆的直径，则圆的圆心为，半径为，所以圆的标准方程是.（2）因为直线与直线垂直，则设直线的方程为，而直线与圆相切，则有，解得或，又因为在轴上的截距大于0，即，所以，即直线的方程为，而圆的圆心，半径，点到直线：的距离为，于是得.20(1)证明见解析(2)【分析】（1）取中点，连接，利用已知条件先证明线面垂直，然后再证明面面垂直即可；（2）根据题意建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，找出面的法向量，利用向量法求解面面角的余弦值即可.【解析】（1）取中点，连接，为中点，四边形为菱形，为等边三角形，又，分别为，中点，即， 平面，平面，平面，平面，平面平面.（2）连接，由（1）知：为等边三角形，；以为坐标原点，、所在直线分别为，轴，建立如图所示空间直角坐标系，则， ，由得：，设平面的法向量，则， 令，解得：，轴平面，平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.21(1)(2)存在，理由见解析【分析】（1）设，由化简可得椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，由韦达定理可得，又，从而可求的表达式， 即可求解.【解析】（1）设，易知，由，得，化简得，故椭圆的标准方程为.（2）点是椭圆长轴上的不同于、的任意一点，故可设直线的方程为，由，得，恒成立.又，要使其值为定值，则，故当，即时，.综上，存在这样的稳定点.22(1)(2)1【分析】（1）利用椭圆的性质，及待定系数法计算即可；（2）设的坐标及直线，利用弦长公式及点到直线的距离计算三角形面积，根据基本不等式求出面积最值时的结论，再由平面向量的坐标表示及点在椭圆上化简消元计算即可.【解析】（1）由题意得，解之得，故椭圆的方程为；（2）设，直线的方程为.将代入，整理得，即，则，故.又原点到直线的距离为，所以，当且仅当，即（*）时，等号成立.由，得，代入，整理得，即（*）.而，由（*）可知，代入（*）式得.故的值为1.【点睛】本题关键第一是由弦长公式及点到直线的距离得出面积表达式，根据基本不等式得出面积取最值时直线方程的参数关系；第二是利用平面向量的坐标表示利用坐标表示坐标，代入椭圆方程，结合韦达定理化简计算即可.答案第7页，共8页