2024-2025学年高二第一学期第二次月考数学试题一、单选题（共40分，每小题5分）1. 过两点的直线的倾斜角是，则（ ）A. 2B. C. 4D. 【答案】B【解析】【分析】利用两点坐标求斜率与斜率的定义即可得解.【详解】因为过两点的直线的倾斜角是，所以，解得.故选：B.2. 已知直线与.若，则（ ）A. B. 1C. D. 2【答案】B【解析】【分析】根据直线平行列方程，从而求得的值.【详解】由于，所以，此时两直线方程分别为，不重合，符合题意，所以.故选：B3. 一个平面截一球得到直径为6的圆面，球心到这个圆面的距离为4，则这个球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用勾股定理结合给定条件得到球半径，再求解体积即可.【详解】如图，设截面圆的圆心为，由题意可知，圆面的直径为6，则，又，所以球的半径，所以球的体积，故选：C.4. 关于直线，及平面，下列命题中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】【分析】通过线面关系的判定即可得出结论.【详解】A选项：，则，故A选项错误；B选项：若，存在，与不一定平行，故B选项错误；C选项：若，则；，则，故C选项正确；D选项：若，存在或，则不成立，故D选项错误.故选：C5. 已知一个圆锥的体积为，其侧面积是底面积的2倍，则其表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据圆锥的侧面展开图和圆锥体积公式以及侧面积公式，即可求出结果.【详解】设底面半径为，高为，母线为，如图所示： 则圆锥的体积，所以，即，又，即，所以，则，解得，所以圆锥的表面积为.故选：B6. 圆台的高为2，体积为，两底面圆的半径比为，则母线和轴的夹角的正切值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据圆台的体积公式求出圆台的上下底半径，再求母线和轴的夹角的正切值.【详解】设圆台上底半径为，则下底半径为，由题意：.所以圆台母线和轴的夹角的正切值为：.故选：B7. 如图，已知正四棱锥的所有棱长均相等，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据线线平行可得异面直线与所成角为（或其补角），即可根据余弦定理求解.【详解】连接，取的中点，连接，由题意知，则异面直线与所成角为（或其补角），在中，则，则异面直线与所成角的余弦值为，故选：C8. 九章算术中关于“刍童”（上、下底面均为矩形的棱台）体积计算的注释：将上底面的长乘以二与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘以二与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一现有“刍童”，其上、下底面均为正方形，若，且每条侧棱与底面所成角的正切值均为，则该“刍童”的体积为（ ）A. 224B. 448C. D. 147【答案】B【解析】【分析】根据题意结合图形得到是“刍童”其中一条侧棱与与底面所成角的平面角，从而求得该刍童的高，进而根据刍童的体积公式即可求得结果【详解】连接，交于点，连接，交于点，连接，过作，如图，.因为“刍童”上、下底面均为正方形，且每条侧棱与底面所成角的正切值均相等，所以底面，又，所以底面，所以是“刍童”其中一条侧棱与底面所成角的平面角，则，因为，所以，易知四边形是等腰梯形，则，所以在中，则，即“刍童”的高为，则该刍童的体积.故选：B二、多选题（共18分，每小题6分）9. 下列说法正确的是（ ）A. 直线的倾斜角为B. 直线在轴上的截距为2C. 直线过定点D. 三条直线交于同一点【答案】BCD【解析】【分析】根据直线的倾斜角，截距、定点、交点等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，直线的斜率为，倾斜角为，A选项错误.B选项，由直线，令，解得，所以B选项正确.C选项，由得，由，解得，所以定点为，C选项正确.D选项，由解得，所以三条直线过同一点2,3，D选项正确.故选：BCD10. 下列说法正确的是（ ）A. 已知空间向量，且，则实数B. 直线与直线之间的距离是.C. 已知直线过点，且与轴正半轴交于点两点，则面积的最小值为4D. 若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为【答案】ACD【解析】【分析】A选项，由空间向量共线相关结论可判断选项正误；B选项，由两平行直线距离公式可判断选项正误；C选项，由题设出直线方程，表示出，即可利用基本不等式判断选项正误；D选项，由直线平移知识结合题意可判断选项正误.【详解】A选项，由于.所以，所以A选项正确；B选项，直线，因此两平行直线的距离，故B错误；C选项，由题，直线l 斜率存在且不为0，设l： ，令， .因直线与与轴正半轴交于点两点，则，.则，当且仅当，即时，等号成立，所以面积的最小值为4，故C正确：D选项，由题知：直线方程斜率存在，设直线方程为，直线l沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则，所以，解得，故D正确.故选：ACD11. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为3，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ） A. 平面B. 向量与的夹角是C. D. 直线与AC所成角的余弦值为【答案】ACD【解析】【分析】选择、作为一组基底，分别表示各选项中的向量，运用向量的模、向量夹角、数量积、异面直线所成角公式计算即可判断.【详解】对于A，由于四边形是菱形，所以，所以，即，由于，平面，所以平面，故A正确.对于B，所以，则，所以向量与的夹角是，所以选项B错误；对于C，由题意可知，则，所以，故C正确；对于D，设与所成角的平面角为，因为，所以，所以，所以D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，熟练掌握空间向量法的线性运算与数量积运算，从而得解.三、填空题（共15分，每小题5分）12. 已知直线，若，则_.【答案】【解析】【分析】根据直线垂直，代入公式，即可求解.【详解】由题意可知，解得：.故答案为：13. 已知点到直线的距离为1，则_.【答案】#【解析】【分析】利用距离公式可求的值.【详解】由题设有，故，故.故答案为：14. 如图，在棱长为1的正方体中，为棱上的动点且不与重合，为线段的中点.给出下列四个命题：三棱锥的体积为；的面积为定值；四棱锥是正四棱锥.其中所有正确命题的序号是_.【答案】【解析】【分析】利用锥体的体积公式判断；利用线面垂直的判定定理判断；利用平行线的传递性及三角形面积公式判断；利用正棱锥的定义判断.【详解】对于，三棱锥体积为，因此三棱锥体积的最大值为，错误；对于，连接，则，又平面，平面，则，而，平面，则平面，又平面，因此，正确； 对于，设，连接，则，即和到的距离相等且不变，因此的面积为定值，正确；对于，由，知平面，又为正方形，为其中心，因此四棱锥是正四棱锥，正确.故答案为：四、解答题15. 已知的三个顶点分别为（1）求边的中线和高所在直线的方程；（2）若直线l过顶点A，且原点到直线l的距离为2，求直线l的方程【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）中点坐标公式得到中点坐标，由两点求斜率用点斜式写出中线方程；由斜率得到高的斜率，点斜式写出直线方程；（2）谈论斜率是否存在，当斜率不存在时，符合题意；当斜率不存在时，设出直线方程，由点到直线距离求出斜率，写出直线方程.【小问1详解】边的中点为，又直线的斜率为，边上的中线所在直线的方程为，即直线的斜率为，边上的高所在直线的斜率为，边上的高所在直线的方程为，即【小问2详解】当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意；当直线的斜率存在时，直线的方程可设为，即，由题意，原点到直线的距离为2，即，解得，所求直线的方程为综上，所求直线的方程为x=2或16. 如图，垂直于梯形所在平面，为的中点，四边形为矩形.（1）求证：平面；（2）求点到直线的距离；（3）求平面与平面夹角的余弦值【答案】（1）证明见解析 （2） （3）【解析】【分析】（1）设，由三角形中位线性质可得，由线面平行判定推理即可；（2）以为坐标原点，直线、分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到直线的距离；（3）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值.【小问1详解】证明：设，连接，由四边形为矩形，得为中点，又为中点，则，又平面，平面，所以平面.【小问2详解】解：由垂直于梯形所在平面，得直线、两两垂直，以为坐标原点，直线、分别为、轴建立空间直角坐标系，则、，所以，点到直线的距离为.小问3详解】解：由（2）可知，设平面的法向量，则，令，得，易知平面的一个法向量，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为.17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，分别为，的中点.（1）求点到平面的距离；（2）求直线与平面所成角的余弦值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，运用向量点到平面的距离公式计算即可；（2）先求出直线与平面所成的角，可通过向量法，求出平面的法向量，再根据向量的夹角公式求出直线与平面所成角的正弦值，最后根据三角函数关系求出余弦值.【小问1详解】因为，底面为正方形，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，因为，分别为，中点，所以，则，设平面的法向量为，由，即，令，则，所以，则，根据点到平面距离公式.【小问2详解】首先设平面的法向量，由，即，令，则，所以，设直线与平面所成角为，则，所以，因为，所以，则直线与平面所成角的余弦值.18. 已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上（1）求圆C的标准方程；（2）点P在圆C上运动，求的取值范围【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用圆的对称性先确定圆心，再求半径即可；（2）设P坐标，利用两点距离公式及点在圆上消元转化为函数求值域求范围即可.【小问1详解】圆经过，两点，得圆心在的中垂线上，又圆心C在直线上，联立直线方程有，得，即圆心坐标为，又，故圆C的标准方程为【小问2详解】设，易知，则（*），因为点P在圆C上运动，则，故（*）式可化简为，由得的取值范围为19. 在中，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的