清单02 实数（14个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】平方根1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即0，0.2.平方根的定义 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 3.平方根的性质 4.平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，.【清单02】无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式（2） 常见的无理数有三种形式：含类.看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111.带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.【清单03】立方根的定义1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.2.立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.3.立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.4.立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，.【清单04】实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分： 实数按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应3.实数运算（1）注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 （2）运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。【清单05】二次根式1. 二次根式的概念一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号如都是二次根式。 2.二次根式有无意义的条件 条件字母表示二次根式有意义被开方数为非负数二次根式无意义被开方数为负数3.二次根式的性质(1)有最小值，为0(2)【清单06】 二次根式的乘除法法则1.二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变）2.二次根式的乘法法则的推广（1）（2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。3.二次根式的乘法法则的逆用（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质）4.二次根式的乘法法则的逆用的推广4.二次根式的除法法则（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）5.二次根式的除法法则的推广【清单07】最简二次根式1.最简二次根式的概念（1） 被开方数不含分母（2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式2.分母有理化分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。【清单08】 同类二次根式1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如【清单09】 二次根式的加减1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。2. 二次根式加减运算的步骤：化：将各个二次根式化成最简二次根式；找：找出化简后被开方数相同的二次根式；合：合并被开方数相同的二次根式将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。【清单10】二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）【考点题型一】平方根与算术平方根【典例1】实数16的平方根是（）A8B8C4D4【变式1-1】9的算术平方根是（）A9B9C3D3【变式1-2】若2m4与3m1是同一个数的平方根，则m的值是（）A3B1C1D3或1【变式1-3】下列各式中，正确的是（）A32=3B32=3C32=3D33=3【变式1-4】81的平方根是（）A3B3C9D9【考点题型二】非负数的性质:算术平方根【典例2】已知x1+y+2=0，那么x+y2024的值为（）A1B1C32024D32024【变式2-1】若a4+|b9|=0，则ba的平方根是（）A32B32C94D94【变式2-2】若y=x5+5x+3，则xy=（）A15B9C9D15【变式2-3】若2x+1+y32=0，则x+y= 【考点题型三】立方根【典例3】64的立方根是（）A2B4C2D4【变式3-1】一个正方体的体积扩大为原来的64倍，则它的棱长变为原来的（）A2倍B4倍C6倍D9倍【变式3-2】已知x的平方根是8，则x的立方根是 【变式3-3】计算：327的结果等于 【考点题型四】平方根与立方根综合【典例4-1】求下列式子中x的值(1)49x216=0(2)2x13=8【典例4-2】已知6a+3的立方根是3，3a+b1的算术平方根是4(1)求a，b的值；(2)求a2+ab的平方根【变式4-1】求下列各式中的x：(1)9x24=0；(2)x+13=27【变式4-2】一个正数x的平方根是2a3与5a，y的立方根是3，求x+y+3的算术平方根【变式4-3】已知，2x+y1的立方根是2，x+y与y3是某数的两个平方根(1)求x与y的值；(2)求x+y的算术平方根【变式4-4】求下列各式中x的值(1)9x24=0；(2)2x+53=125【考点题型五】无理数【典例5】在3，2，3.14，0，52，41中，无理数的个数有（）A2个B3个C4个D5个【变式5-1】下列实数：23、37、0、3、0.16、0.1212212221（每相邻两个1之间依次多1个2），其中无理数有（）A1个B2个C3个D4个【变式5-2】在13，0.131131113，3，227，13中无理数的个数有（）A6个B5个C4个D3个【变式5-3】下列各数：3625，316，0，20，2，227，3.14，0.101001000（每相两个1之间的0的个数依次增加1），无理数有（）A2个B3个C4个D5个【考点题型六】实数的定义和性质【典例6】下列说法正确的是（）A两个无理数的和一定是无理数B无限小数都是无理数C实数可以用数轴上的点来表示D分数可能是无理数【变式6-1】实数32的倒数是（）A32B23C23D2【变式6-2】下列说法正确的是()A实数分为正实数和负实数B无限小数都是无理数C带根号的数都是无理数D无理数都是无限不循环小数【变式6-3】实数a的相反数是2023，那么实数a是（）A2023B2023C12023D20232【变式6-4】2的绝对值是（）A2B22C2D2【变式6-5】已知a满足2024a+a2025=a，则a20242的值为 【考点题型七】实数大小比较【典例7】在数3、2、0、5中，最大的数是（）A3B0C2D5【变式7-1】实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示把a,b,a,b按照从小到大的顺序排列，正确的是（）AbabaBababCbaabDbaa”、“，3Bx3Cx2Bx2Cx4Bx4Cx4Dx4【变式10-3】若2x3y有意义，则x、y的取值范围不可能是（ ）Ax0,y0 Bx0,y0Cx0,y0Dxy0【考点题型十一】二次根式的性质与化简【典例11】将m1m中根号外的m移到根号里后得到的式子为（）AmBmCmDm【变式11-1】实数a在数轴上的位置如图所示，则(a4)2(a11)2化简后为（）A2a15B7C7D无法确定【变式11-2】已知实数a,b,c在数轴上的位置如图所示：则a2a+c+(cb)2b= 【变式11-3】实数a、b在数轴上位置如图，化简：|ab|a+b2