20242025学年高二上学期期中质量监测数学试卷本试卷分第卷和第卷两部分，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂在其它答案标号.一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，若，则（ ）A. B. C. 4D. 【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的坐标表示，列式计算即得.【详解】向量，由，得，所以.故选：B2. 设直线分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则a与b（ ）A. 平行B. 相交C. 是异面直线D. 可能相交，也可能是异面直线【答案】D【解析】【分析】按直线的三种位置关系分析【详解】如图，长方体中，当所在直线为a，所在直线为b时，a与b相交；当所在直线为a，所在直线为b时，a与b异面.故选：D.【点睛】本题考查空间两条直线间的位置关系，属于基础题3. 已知直线：与直线：平行，则（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】B【解析】【分析】根据直线平行列方程，从而求得正确答案.【详解】由于两直线平行，所以，此时，符合题意.故选：B4. 已知直线与平面相交，点，在上，且线段在内的射影长为，则与所成角的大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据线面角的知识求得正确答案.【详解】设与所成角为，因为点，在上，且线段在内的射影长为，依题意作图如下，则，所以与所成角的大小为.故选：B 5. 如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的线性运算法则求解【详解】由已知.故选：D6. 已知一条光线从点发出被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，求出发光点关于直线的对称点，再借助光的反射定律求出反射光线所在直线的方程.【详解】设点关于直线的对称点为，则，解得，因此反射光线所在直线过点，方程为，即.故选：A7. 已知圆：，直线：，若与交于两点，则的最小值为（ ）A. B. 2C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出直线过的定点并判断与圆的位置关系，再利用圆的性质求出最短弦长.【详解】直线：过定点，圆：的圆心，半径，即点在圆内，当且仅当时，最短，所以的最小值为故选：C8. 已知球是正三棱柱的内切球，是球表面上一点，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求得等边三角形内切圆的半径，也即求得正三棱柱内切球的半径，根据向量运算求得正确答案.【详解】设等边三角形内切圆的半径为，则，则正三棱柱的内切球半径，则正三棱柱的高为.设等边三角形外接圆半径为，则，所以，设是等边三角形的中心，是的中点，连接，则，是球表面上一点，则，（同向是为，反向时为），所以，所以的取值范围是.故选：B【点睛】思路点睛:通过内切圆求内切球：首先通过等边三角形的内切圆半径，求得正三棱柱的内切球半径，这是确定球的大小的关键步骤.利用向量运算确定数量积的取值范围：通过设定球心和球面上一点之间的关系，转化后利用向量运算确定数量积的取值范围，确保所有可能情况都得到考虑.二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 以下说法正确的是（ ）A. 过直线外一点，可以作无数个平面与该直线平行B. 过直线外一点，可以作无数个平面与该直线垂直C. 如果两个平面不相交，则它们就没有公共点D. 若一条直线与一个平面不垂直，则这条直线与这个平面内的任何直线都不垂直【答案】AC【解析】【分析】利用线面平行、垂直的意义判断AB；利用两个平面的位置关系判断C；举例说明判断D.【详解】对于A，过直线外一点可作一条直线与这条直线平行，经过所作直线有无数个平面与该直线平行，A正确；对于B，过直线外一点，有且只有一个平面与该直线垂直，B错误；对于C，两个平面不相交，则它们平行，没有公共点，C正确；对于D，正四面体的相对棱垂直，而任意棱都不垂直于对棱所在的平面，D错误.故选：AC10. 已知圆：和圆：，点，分别是，上的动点，过点作的两条切线，切点分别为，则A. 的圆心在直线上B. 和相离C. 的最小值为D. 若，则四边形面积的最大值为【答案】BC【解析】【分析】求出圆的圆心及半径，再结合点与圆、圆与圆的位置逐项判断得解.【详解】圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，对于A，点的坐标不满足方程，A错误；对于B，和相离，B正确；对于C，C正确；对于D，当时，四边形的面积，D错误.故选：BC 11. 如图所示，正四棱锥与正三棱锥的棱长均为1，一凸多面体是由该四棱锥与该三棱锥组合而成，其中点，分别与点，重合，在该多面体中（ ）A. 二面角的余弦值为B. ，四点共面C. 平面D. 三棱锥的外接球体积为【答案】BCD【解析】【分析】根据二面角、四点共面、线面平行、外接球等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】设是的中点，连接，设，连接，则平面.由于三角形、三角形都是等边三角形，所以，所以是二面角的平面角，所以，所以A选项错误.由于，所以是二面角的平面角，所以，所以，所以四点共面，B选项正确.，所以四边形是菱形，所以，由于平面平面，所以平面，所以C选项正确.由于，所以是三棱锥外接球的球心，且外接球的半径为，所以外接球的体积是，所以D选项正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：二面角和平面角的分析：通过分析二面角与平面角的关系，并结合辅助线的构造来确定二面角的性质，是解题的关键.几何性质的综合运用：利用几何体的对称性、对角线的关系以及球的外接性质，确保推导过程严密，是确保解答正确的基础.三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12. 已知是直线的一个方向向量，则的倾斜角为_.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，求出直线的斜率，进而求出其倾斜角.【详解】依题意，直线的斜率，其倾斜角为.故答案为：13. 已知圆：，写出一条过点且与相切的直线方程_.【答案】或（只写一条即可）【解析】【分析】求出圆心和半径，分析斜率不存在的直线是否为切线，斜率存在的直线设出直线方程后，由圆心到切线的距离等于半径求得结论【详解】圆的标准方程是，圆心为，半径为5，过且斜率不存在的直线为，它与圆相切，过且斜率存在的直线设其方程为，即，由，解得，直线方程为，即，故答案为：或（只写一条即可）14. 在四面体中，点，分别为，的重心，过作直线与棱，交于点，已知，则_.若四面体的体积为3，则四棱锥的体积最大值为_.【答案】 . . 【解析】【分析】根据三点共线列方程，由此求得.先求得四棱锥的体积的表达式，然后利用基本不等式求得体积的最大值.【详解】设是的中点，所以三点共线，三点共线，所以，由于三点共线，所以.依题意，.由于，所以到平面的距离是到平面的距离的三分之一，所以，当且仅当时等号成立.所以四棱锥的体积最大值为.故答案为：；点睛】思路点睛：通过重心与中点确定共线关系：首先通过重心的性质确定共线关系，这是解题的基础步骤.利用体积表达式结合不等式求解最大值：通过建立四棱锥的体积表达式，结合基本不等式，确定体积的最大值，这种方法有效地将空间几何问题转化为代数问题.四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 已知的三个顶点分别是，.（1）求边高所在直线方程；（2）求的面积.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先求得直线的斜率，再利用点斜式求得边的高所在直线方程；（2）根据三角形的面积公式求得正确答案.【小问1详解】，边的高所在直线的斜率为，所以边的高所在直线方程为.【小问2详解】，直线的方程为，到直线的距离为，所以.16. 如图，在四棱锥中，平面，为棱的中点.（1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）通过证明来证得平面.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】由于为棱的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以，由于平面，平面，所以平面.【小问2详解】依题意可知平面，而平面，所以，所以.而，由此可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设平面的法向量为，则，故可设，设直线与平面所成角为，所以.17. 已知圆经过，两点，且圆心在直线上.（1）求的方程；（2）设直线：与交于，两点.证明：直线与平行；求四边形的面积.【答案】（1） （2）证明见解析；【解析】【分析】（1）利用圆心和半径求得圆的方程.（2）求出直线的方程，由此作出判断.转化为计算三角形的面积来求得四边形的面积.【小问1详解】设圆心，由，则，所以，解得.且，所以圆的方程为.【小问2详解】直线的方程为，直线：，即，所以直线与平行；由解得，即，则三点共线，所以是圆的直径，所以四边形的面积为. 18. 在四棱台中，平面，平面平面.（1）证明：平面；（2）已知四边形为梯形，二面角的大小为.求点到平面的距离；求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析； （2）；【解析】【分析】（1）作，垂足为，作，垂足为，证明平面，平面，从而得重合为，即证题设线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，设，求出平面和平面的法向量，由法向量夹角得二面角，从而得，由在平面的法向量方向上的投影的绝对值得线面距；再求得平面的法向量，由两个平面的法向量的夹角余弦值得二面角的余弦值【小问1详解】作，垂足为，作，垂足为，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，平面平面，平面平面，平面，平面，与重合，即为平面与平面的交线，平面;【小问2详解】由题意，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图，由（1）平面，平面，在直角梯形中，所以，是棱台，则，因此则，设，则， 设平面的一个法向量是，则，取，可得，则为平面的一个法向量，平面的一个法向量是，二面角的大小为，则，解得（负值舍