安徽省县中联盟2024-2025学年高二上学期12月联考（B卷）数学试卷学校：_姓名：_班级：_考号：_一、选择题1已知数列1，3，则9是该数列的( )A.第42项B.第41项C.第9项D.第8项2过点且与直线垂直的直线方程是( )A.B.C.D.3已知函数的图像在点处的切线方程为，则( )A.8B.3C.4D.-44已知等差数列的前n项和为，则( )A.B.C.D.5在平面直角坐标系中，已知点，且动点满足，则动点P的轨迹与圆的位置关系是( )A.相交B.外切C.外离D.内切6已知函数的导函数的图像如图所示，则下列关于函数的说法正确的是( )A.单调减区间是B.-2是极大值点C.没有最大值D.最多能有四个零点7在直三棱柱中，若点P满足，其中，则直线与平面所成角的最大值为( )A.B.C.D.8已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，若直线l交C于A，B两点，且，点O关于l的对称点为D，则的取值范围为( )A.B.C.D.二、多项选择题9已知函数，则( )A.B.是的一个极值点C.在上的平均变化率为1D.在处的瞬时变化率为210已知椭圆的长轴长为，离心率为，设点P是椭圆C上的任意一点，若点P到点的距离与点P到定直线的距离之比为定值，则( )A.椭圆C的标准方程为B.C.D.若直线与椭圆C相交于M，N两点，则11如图，在三棱锥中，三条侧棱，两两垂直，且，M为内部一动点（不包含边界），过M分别作平面、平面、平面的垂线，垂足分别为P，Q，R.则( )A.直线与直线是异面直线B.为定值C.三棱锥的外接球表面积的最小值为D.当时，平面与平面的夹角为三、填空题12在等比数列中，若，则_.13已知直线与双曲线交于A，B两点，点是弦的中点，则双曲线C的离心率为_.14已知函数及其导函数的定义域均为R，若对任意实数x，且当时，则不等式的解集为_.四、解答题15已知圆C的圆心在直线上，且经过点，.(1)求圆C的标准方程；(2)求经过点且与圆C相切的直线方程.16已知数列的前n项和为，且数列的前n项和为.(1)求数列的通项公式；(2)求证：.17已知函数的两个极值点分别为2，3.(1)求a，b的值，并求出函数的极值；(2)已知，求证：不等式在上恒成立.18如图，在四棱柱中，底面为矩形，平面平面，E，F分别为，的中点.(1)证明：平面；(2)若，二面角的正弦值为，求.19已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右顶点分别为A，B，且.(1)求E的方程；(2)若点P为直线上的一点，直线交E于另外一点M（不同于点B）.记，的面积分别为，且，求点P的坐标；若直线交E于另外一点N，点G是直线上的一点，且，其中O为坐标原点，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.参考答案1答案：B解析：由已知数列1，3，即，则数列的第n项为，令，解得，所以9是该数列的第41项.故选：B.2答案：A解析：设与直线垂直的直线方程是，代入点，得，解得，所以所求的直线方程是.故选：A3答案：C解析：因为切线方程为，可知当时，且切线斜率为3，即，所以.故选：C.4答案：A解析：在中取得，故，所以.故选：A.5答案：C解析：，得，则，整理得，表示圆心为，半径为的圆，圆的圆心为，半径，两圆的圆心距为，满足，所以两个圆外离.故选：C.6答案：D解析：由图可知：当或时，当或时，因此函数在和上单调递减，在和上单调递增，函数在上不单调，A错误；-2不是极值点，B错误；函数在处取得极大值，当不小于函数在，上的所有函数值时，函数有最大值，C错误；当，且函数在，上的图像都与x轴相交时，函数在，上各有1个零点，共有4个零点，因此最多能有四个零点，D正确.故选：D.7答案：B解析：分别取，中点D，则，即平面，连接，因为，所以，以D为原点，分别以，所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知，则，因为，易知平面的一个法向量是，设直线与平面所成角为，则，所以时，即的最大值是.故选：B.8答案：C解析：由A，B两点在抛物线上，所以可以设点，则，由直线l交C于A，B两点，故直线l不与x轴平行或重合，故可设直线l解析式为，联立，得，所以，解得，所以直线l与x轴的交点为，由O，D关于直线l对称，所以，且D点不与O点重合，故可知D的轨迹方程为：（不经过原点），所以，即.故选：C.9答案：BD解析：利用复合函数的求导法则，由，所以A错误；因为，当时，且时，时，故为极大值点，所以B正确；由在上的平均变化率为，所以C错误；因为，当时，所以D正确.故选：BD.10答案：ACD解析：对于A，由题意，所以，则，所以椭圆C的标准方程为，A正确；对于BC，设，依题意得，又，所以，所以恒成立，可得且，且，显然，解得，B错误，C正确；对于D，由，解得，或，所以交点为，则，D正确.故选：ACD.11答案：BC解析：对于B，设，由题意，即，所以，即为定值，故B正确；对于C，设三棱锥的外接球的半径为R，由题意可知，两两垂直，当且仅当时取等号，所以的最小值为，即R的最小值为，所以三棱锥的外接球表面积的最小值为，故C正确；对于D，如图，以O为原点，以，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，因为，所以，此时，为的中心，因为，平面，所以平面，故即为平面的一个法向量，设平面的法向量为，则有，令，则，则，所以平面与平面夹角的余弦值为，故D错误；由D可知，当M为的中心时，则，所以，所以直线与直线共面，故A错误.故选：BC.12答案：解析：由，得，所以.故答案为：.13答案：2解析：设，可得，两式相减可得，点是弦的中点，且直线，可得，即有，即，故双曲线C的离心率为.故答案为：214答案：解析：令，则，由题意可得当时，即在上单调递增，由，则，即，故为偶函数，故在上单调递减，则不等式可化为，即，即，则有，即，即，即，解得.因此，不等式的解集为.故答案为：.15答案：(1)(2)或解析：(1)线段的中点，直线的斜率，则线段的中垂线方程为，即，由，解得，因此圆C的圆心，半径，所以圆C的标准方程为；(2)点到直线的距离为2，即直线与圆C相切；当切线斜率存在时，设切线方程为，即，由，解得，因此方程为，所以经过点且与圆C相切的直线方程为或.16答案：(1)(2)证明见解析解析：(1)当时，.因为时，满足上式，所以数列的通项公式为；(2)，所以.因为，所以，又数列是递增数列，所以，所以.17答案：(1)，极大值为，极小值为(2)证明见解析解析：(1)因为，所以，因为函数的两个极值点分别为2，3，所以解得此时，.所以当时，当时，当时，故函数在，上单调递增，在上单调递减，满足的两个极值点分别为2，3，极大值点为2，极小值点为3，所以函数的极大值为，极小值为.(2)证明：等价于，即，令，则，若，则恒成立，在上单调递增，所以；若，令，得，当时，当时，故在上单调递减，在上单调递增，所以的极小值为，也是最小值.令，则，所以在上单调递减，.综上所述，在上恒成立，即不等式在上恒成立.18答案：(1)证明见详解(2)1解析：(1)连接，与交于点G，连接、，所以点G为的中点；在中，因为G，F分别为、中点，所以，且，因为E为的中点，所以，且，所以，且，因此四边形为平行四边形，则，又平面，平面，所以平面.(2)取中点H，连接，所以，又，则；因为，点F是的中点，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，平面，所以，因此，以点F为坐标原点，以，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系；设，由，得；则，所以，；设平面的法向量，由，得，令，解得，则平面的一个法向量；设平面的法向量，由，得，令，解得，则平面的一个法向量；设二面角的平面角为，则，由题意知，则，即，解得，即.19答案：(1)(2)或是，2解析：(1)由题意知解得，所以E的方程为.(2)由题意可知，设因为直线交E于另外一点M（不同于点B），所以，又双曲线的渐近线为，故，解得，所以直线，即，由，消y得，所以，解得，所以.因为，又，所以，解得或，即点P的坐标为或.直线，即，由，消y得，即，所以，解得，所以，所以直线的斜率，所以直线的方程为，令，得，解得，所以直线恒过定点，又，即，又点A是的中点，所以，所以是定值，且定值为2.